ラプラス作用素とネットワーク　/ 浦川 肇

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「ラプラス作用素とネットワーク」 
浦川 肇 
定価: ￥ 4100 
 
曲がった空間を変形させてゆくと→つぶれた空間→グラフへと変わってゆく．これは「連続」と「離散」という，一見別なものと思われている対象を結び付けるものである． 
　本書は，新しい観点から，微分幾何とネットワークやグラフ理論を対比詳述する． 
 
1．ユークリッド空間の微積分 
　1.1　ユークリッド空間上の微分 
　1.2　積分 
　コーヒー＝ブレイク　連続と離散 
 
2．リーマン幾何の基礎 
　2.1　多様体 
　2.2　接空間 
　2.3　余接空間 
　2.4　リーマン計量と積分 
　2.5　接続 
　2.6　平行移動 
　2.7　リーマン距離 
　2.8　例 
　2.9　ベクトル場の発散とラプラシアン 
　コーヒー＝ブレイク　宇宙と多様体 
 
3．関数解析の基礎 
　3.1　ヒルベルト空間 
　3.2　ヒルベルト空間の線形作用素 
　3.3　自己共役作用素 
　3.4　自己共役作用素のスペクトル 
 
4．ラプラシアンの基礎 
　4.1　グリーンの公式 
　4.2　グリーンの公式の一般化 
　4.3　ラプラシアンの自己共役性 
　コーヒー＝ブレイク　ブラウン運動と酔歩 
 
5．長さの変分と比較定理 
　5.1　長さの変分公式 
　5.2　共役点とヤコビ場 
　5.3　測地極座標 
　5.4　比較定理 
 
6．ラプラシアンのスペクトル幾何 
　6.1　スペクトルの離散性 
　6.2　固有値の変分法的特徴付け 
　6.3　固有値の漸近分布 
　6.4　関連する話題 
　6.5　等周方程式とファーベル・クラーンの不等式 
　6.6　完備リーマン多様体のスペクトルの下限 
　6.7　熱核とグリーン核 
　コーヒー＝ブレイク　有限要素法 
 
7．ネットワークのスペクトル幾何 
　7.1　グラフ 
　7.2　グラフのラプラシアン 
　7.3　グラフのスペクトル問題 
　7.4　等周定数，体積増大度とスペクトルの下限 
　7.5　グリーン核とコンパクト化 
　7.6　固有値比較定理 
　コーヒー＝ブレイク　離散模型 
 
付録A．測度と可測集合 
付録B．解の微分可能性 
付録C．第６章 命題（1.3）の証明 
付録D．新しい等スペクトル領域 
 
参考書 
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